1. 章节概览：群和子群

这部分是本书第一章的目录或内容概览。它以表格的形式清晰地列出了本章将要探讨的七个核心主题。这个列表就像一张地图，引导读者了解即将学习的内容脉络。

1. 引言和示例: 作为开篇，它将引入抽象代数的基本思想，并通过一些我们熟悉的例子（如实数运算）来建立初步的直觉。
2. 二元运算: 这是抽象代数的基石。本部分将对“运算”这个概念进行精确的数学定义。
3. 同构二元结构: 这是一个非常核心的概念，它告诉我们，两个表面上看起来完全不同的数学系统，在底层的“代数结构”上可能完全一样。
4. 群: 群是抽象代数中研究的第一种、也是最重要的一种代数结构。本部分将给出群的严格定义。
5. 子群: 在一个大的群中，我们常常可以找到一些小的、自身也构成群的子集，这就是子群。
6. 循环群: 这是一种特别简单但又非常重要的群，它所有的元素都可以由一个元素反复运算得到。
7. 生成集和凯莱图: 这部分将探讨如何用最少的元素来“生成”一个完整的群，以及如何用一种名为凯莱图的图形化工具来直观地理解群的结构。

这部分是引言，目的是非正式地介绍抽象代数的核心思想：研究带有“运算”的“集合”的“结构性质”。

1. 从熟悉到抽象：我们都了解实数的加法（$+$）和乘法（$\cdot$）。这些运算的共同点是，它们都接收“两个”数，然后输出“一个”数。例如，加法接收2和3，输出5。这种“接收两个输入，产生一个输出”的操作，被称为二元运算。
2. 抽象代数的核心任务：抽象代数做的事情就是把这个“二元运算”的概念从我们熟悉的加法、乘法中“抽象”出来。它不再关心这个运算具体是加是减，也不关心集合里装的是不是数字。它只关心一个集合（比如所有整数的集合 $\mathbb{Z}$，或者一个平面上所有旋转操作的集合）和定义在这个集合上的一个或多个二元运算。
3. 什么是“代数结构”？：当一个集合被赋予了一个二元运算后，它就拥有了一个所谓的代数结构。这个“结构”体现在这个集合和运算所共同遵守的“规则”或“性质”上。
4. 用例子理解“结构性质”：文章用实数集 $\mathbb{R}$ 举例。
   • 结构1：(实数集, 加法)。我们来看方程 $x+x=a$。无论 $a$ 是任何实数（正数、负数或0），我们总能找到一个实数解 $x = a/2$。这是一个关于“加法”结构的重要性质：可解性。
   • 结构2：(实数集, 乘法)。我们来看形式类似的方程 $x \cdot x=a$（即 $x^2=a$）。这时情况就不同了。如果 $a$ 是负数（例如 $a=-4$），那么在实数范围内，这个方程没有解。
   • 结论：因为一个方程总有解，另一个却不一定，所以我们说“带有加法的 $\mathbb{R}$”和“带有乘法的 $\mathbb{R}$”这两个系统的代数结构是不同的。它们遵守的规则不一样。
5. 结构相同但外表不同：引言还提出了一个惊人的观点：有时候两个看起来完全不同的系统，其代数结构可能完全一样。比如“(所有实数, 加法)”和“(所有正实数, 乘法)”，我们将在后面学到它们是同构的，即结构相同。
6. 本节的目标：本节只是一个热身，让我们对这些概念有一个非正式、直观的感受。精确的定义将在后续部分给出。
7. 即将使用的工具：为了更好地探索这些概念，文章提出将使用一个非常有用的例子——复数的乘法，特别是那些在单位圆上的复数。

这部分介绍了复数的定义、几何表示以及其发明的动机。

1. 从一维到二维：我们习惯于将实数想象成一条直线（数轴）上的点。复数则将这个概念扩展到了一个二维平面，即复平面（或称欧几里得平面）。
2. 复平面的坐标系：
   • 水平轴是实轴（Re），和我们熟悉的 $x$ 轴一样。
   • 垂直轴是虚轴（Im）。注意图中的标记是 $yi$，强调了其“虚”的特性。原点上方一个单位的点被标记为 $i$。
   • 平面上的任意一个点，其笛卡尔坐标为 $(a, b)$，就对应着一个复数 $z = a+bi$。其中，$a$ 是这个复数的实部，$b$ 是虚部。
3. 复数集的定义：所有形如 $a+bi$ 的数的集合，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数，这个集合被称为复数集，记作 $\mathbb{C}$。
4. 实数是特殊的复数：实数集 $\mathbb{R}$ 可以被看作是复数集 $\mathbb{C}$ 的一个子集。具体来说，任何一个实数 $r$ 都可以被看作是虚部为0的复数 $r+0i$。例如，实数3就是复数 $3+0i$，它位于复平面的实轴上。
5. 纯虚数：同样地，实部为0的复数 $0+bi$ 通常被简写为 $bi$，并被称为纯虚数。最重要的纯虚数是 $i$ 本身，即 $0+1i$。
6. i 的由来：复数，特别是虚数单位 $i$，不是凭空出现的。它的发明是为了解决一个在实数范围内无解的简单方程：$x^2 = -1$。为了让这个方程有解，数学家们“发明”了一个新数，定义它就是这个方程的解。这个数就是 $i$，所以它必须满足 $i^2 = -1$。
7. 数的本质：作者在此进行了一点哲学思辨。他指出，我们不应该因为 $i$ 被称为“虚数”就觉得它比“实数”更不真实。无论是整数1，圆周率 $\pi$，还是虚数单位 $i$，它们都是人类为了描述和理解世界而创造出来的数学概念（思维的发明），并不存在一个物理实体与之对应。
8. 本书的目标之一：最后，作者点明了本书的一个深层目标，即展示如何为更广泛的多项式方程“发明”解，即使这些方程的系数本身就是复数或更抽象的元素。这是抽象代数（特别是域论部分）的核心内容之一。

这部分的核心是定义两个复数如何相乘。

1. 指导思想：复数乘法的定义不是凭空捏造的。它的指导思想是：我们希望复数的运算尽可能地和实数的运算规则保持一致。具体来说，我们希望乘法对加法的分配律、结合律和交换律在复数中依然成立。
2. 推导过程：让我们假设分配律成立，来推导 $(a+bi)$ 和 $(c+di)$ 的乘积应该是什么。
   • 第一步：像对待多项式一样展开。把 $(a+bi)$ 和 $(c+di)$ 看作两个二项式，使用分配律（或FOIL方法）展开：
   • 第二步：整理各项。利用乘法交换律和结合律，得到：
   • 第三步：使用 $i^2=-1$。这是最关键的一步，将我们从普通的多项式世界带入复数世界。将 $i^2$ 替换为 $-1$：
   • 第四步：合并同类项。将所有不含 $i$ 的项（实部）和含有 $i$ 的项（虚部）分别合并：
3. 正式定义：基于上述推导，我们定义两个复数 $z_1 = a+bi$ 和 $z_2 = c+di$ 的乘积为 $z_1 z_2 = (ac-bd) + (ad+bc)i$。这个结果仍然是一个实部为 $(ac-bd)$、虚部为 $(ad+bc)$ 的复数。
4. 验证性质：定义好之后，我们可以去验证，这个乘法定义确实满足我们所期望的那些性质，比如交换律（$z_1 z_2 = z_2 z_1$）、结合律（$(z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3)$）和分配律（$z_1(z_2+z_3) = z_1 z_2 + z_1 z_3$）。验证过程虽然繁琐，但并不困难，只是例行的代数运算。
5. 计算技巧：示例1.2告诉我们一个重要的实践技巧：在实际计算时，不要去死记硬背那个最终的公式 (ac-bd) + (ad+bc)i。而是应该每次都重复一遍推导过程，即“像展开多项式一样展开，然后把 $i^2$ 换成 $-1$，最后合并同类项”。这个过程更自然，更不容易出错。

这部分揭示了复数乘法深刻的几何意义。它将我们从繁琐的代数计算 $(ac-bd)+(ad+bc)i$ 解放出来，提供了一个非常直观的图像。

1. 引入新坐标系统：极坐标：之前我们用笛卡尔坐标 $(a,b)$ 来描述复数 $a+bi$。现在引入另一种描述方式：极坐标。描述一个点不再用“横、纵”坐标，而是用“距离”和“角度”。
   • 模（绝对值）：复数 $z=a+bi$ 的模（或绝对值），记作 $|z|$，定义为 $|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2}$。在几何上，它就是复平面上点 $(a,b)$ 到原点 $(0,0)$ 的距离。这是一个非负实数。
   • 辐角：复数 $z$ 的辐角（或相位、角度），记作 $\arg(z)$ 或 $\theta$，定义为从正实轴（$x$轴正方向）逆时针旋转到连接原点与点 $z$ 的线段所经过的角度。
2. 复数的极坐标表示：有了模 $|z|$ 和辐角 $\theta$，任何一个非零复数 $z=a+bi$ 都可以用三角函数表示出来。从图1.3的直角三角形中可以看到，$a = |z|\cos\theta$ 且 $b = |z|\sin\theta$。因此，$z = a+bi = |z|\cos\theta + i|z|\sin\theta = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)$。这就是复数的极坐标表示。
3. 欧拉公式：一座桥梁：一个被称为欧拉公式的数学奇迹将指数函数和三角函数联系了起来：$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$。
   • 这个公式的严格证明需要用到泰勒级数（如习题41所示），但在初学时，我们可以先接受它作为一个已知事实。
   • 它的重要性在于，它可以用一个非常简洁的指数形式 $e^{i\theta}$ 来替代复杂的 $\cos\theta + i\sin\theta$。
   • 因此，复数的极坐标表示可以被写成更紧凑的指数形式：$z = |z|e^{i\theta}$。
4. 乘法的几何意义揭晓：现在，我们用指数形式来计算两个复数 $z_1 = |z_1|e^{i\theta_1}$ 和 $z_2 = |z_2|e^{i\theta_2}$ 的乘积。假设我们熟悉的指数运算法则 $e^A e^B = e^{A+B}$ 依然适用，那么：

$z_1 z_2 = (|z_1|e^{i\theta_1}) (|z_2|e^{i\theta_2}) = |z_1||z_2| e^{i(\theta_1+\theta_2)}$

这个结果告诉我们关于复数乘积 $z_1z_2$ 的一切：

• 乘积的模：$|z_1z_2| = |z_1||z_2|$。也就是说，模相乘。
• 乘积的辐角：$\arg(z_1z_2) = \theta_1+\theta_2$。也就是说，辐角相加。

1. 总结成一句话：复数相乘，模相乘，辐角相加。这就是复数乘法无比优美的几何意义。它将一个代数运算转化为一个几何变换：旋转和缩放。
2. 用几何意义验证 $i^2=-1$：
   • 我们来看复数 $i$。它的笛卡尔坐标是 $(0,1)$。
   • 它的模 $|i| = \sqrt{0^2+1^2} = 1$。
   • 它的辐角是 $\pi/2$（或90度）。所以 $i = 1 \cdot e^{i\pi/2}$。
   • 计算 $i^2 = i \cdot i$：
   • 模相乘：$|i^2| = |i| \cdot |i| = 1 \cdot 1 = 1$。
   • 辐角相加：$\arg(i^2) = \arg(i) + \arg(i) = \pi/2 + \pi/2 = \pi$。
   • 那么 $i^2$ 是一个模为1，辐角为 $\pi$（180度）的复数。这个数就是 $-1$。几何图像与代数定义完美契合。

这两个例子展示了复数乘法的几何意义（特别是其指数形式）在求解多项式方程方面的强大威力。核心思想是：将方程两边都化为极坐标形式，然后让模和辐角分别相等。

示例 1.6：求解 $z^2 = i$

1. 设未知数 $z$ 的极坐标形式：我们要求解的 $z$ 是一个复数，假设它的极坐标形式是 $z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) = |z|e^{i\theta}$。
2. 表示方程左边：根据棣莫弗定理（即 $z^n = |z|^n e^{in\theta}$），方程的左边 $z^2$ 就可以表示为：

$z^2 = |z|^2 e^{i(2\theta)} = |z|^2(\cos(2\theta) + i\sin(2\theta))$。

1. 表示方程右边：方程的右边是复数 $i$。我们需要把它也表示成极坐标形式。
   • 模：$|i| = 1$。
   • 辐角：$\arg(i) = \pi/2$。
   • 所以 $i = 1 \cdot (\cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2))$。
2. 建立等式：现在方程 $z^2=i$ 变成了：

$|z|^2(\cos(2\theta) + i\sin(2\theta)) = 1(\cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2))$。

1. 分别求解模和辐角：
   • 模相等：$|z|^2 = 1$。因为模是非负实数，所以 $|z|=1$。
   • 辐角相等：$2\theta$ 必须等于 $\pi/2$。但是，要考虑到辐角的周期性。角度相差 $2\pi$ 的整数倍都指向同一个方向，所以我们必须写成 $2\theta = \pi/2 + 2n\pi$，其中 $n$ 是任意整数。
2. 解出 $\theta$：从 $2\theta = \pi/2 + 2n\pi$ 解得 $\theta = \pi/4 + n\pi$。
3. 找出所有不同的解：我们通过代入不同的整数 $n$ 来寻找在 $[0, 2\pi)$ 范围内的不同角度 $\theta$。
   • 当 $n=0$ 时，$\theta = \pi/4$。
   • 当 $n=1$ 时，$\theta = \pi/4 + \pi = 5\pi/4$。
   • 当 $n=2$ 时，$\theta = \pi/4 + 2\pi$，这和 $\pi/4$ 是同一个角度，开始循环了。
   • 因此，我们只找到了两个不同的角度。
4. 写出解：我们有两个解，它们的模都是1，角度分别是 $\pi/4$ 和 $5\pi/4$。
   • $z_1 = 1(\cos(\pi/4) + i\sin(\pi/4)) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)$。
   • $z_2 = 1(\cos(5\pi/4) + i\sin(5\pi/4)) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)$。

示例 1.7：求解 $z^4 = -16$

这个过程完全一样：

1. 设 $z = |z|e^{i\theta}$。
2. 左边: $z^4 = |z|^4 e^{i(4\theta)}$。
3. 右边: $-16$。
   • 模: $|-16| = 16$。
   • 辐角: $\arg(-16) = \pi$。
   • 所以 $-16 = 16(\cos\pi + i\sin\pi)$。
4. 等式: $|z|^4(\cos(4\theta) + i\sin(4\theta)) = 16(\cos\pi + i\sin\pi)$。
5. 求解:
   • 模: $|z|^4 = 16 \implies |z|=2$ (因为模是非负实数)。
   • 辐角: $4\theta = \pi + 2n\pi \implies \theta = \pi/4 + n(\pi/2)$。
6. 找不同角度:
   • $n=0: \theta = \pi/4$。
   • $n=1: \theta = \pi/4 + \pi/2 = 3\pi/4$。
   • $n=2: \theta = \pi/4 + \pi = 5\pi/4$。
   • $n=3: \theta = \pi/4 + 3\pi/2 = 7\pi/4$。
   • $n=4: \theta = \pi/4 + 2\pi$，开始循环。
7. 写出4个解: 模都是2，角度分别是 $\pi/4, 3\pi/4, 5\pi/4, 7\pi/4$。
   • $z_1 = 2(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4)) = \sqrt{2}(1+i)$。
   • $z_2 = 2(\cos(3\pi/4)+i\sin(3\pi/4)) = \sqrt{2}(-1+i)$。
   • $z_3 = 2(\cos(5\pi/4)+i\sin(5\pi/4)) = \sqrt{2}(-1-i)$。
   • $z_4 = 2(\cos(7\pi/4)+i\sin(7\pi/4)) = \sqrt{2}(1-i)$。

结论: 方程 $z^n = w$ (其中 $w \neq 0$ 是一个复数) 在复数域 $\mathbb{C}$ 中总是有恰好 $n$ 个不同的解。

这部分是对复数基本运算的一个补充说明，虽然作者明确表示在当前章节的后续内容中不会重点使用它们，但为了知识的完整性，还是给出了定义。

1. 复数的加法：
   • 规则：复数的加法非常简单直观：实部与实部相加，虚部与虚部相加。
   • 公式：$(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$。
   • 几何意义：在复平面上，复数的加法完全等同于向量的平行四边形法则。如果将复数 $z_1$ 和 $z_2$ 看作从原点出发的两个向量，那么它们的和 $z_1+z_2$ 就是以这两个向量为邻边构成的平行四边形的对角线向量。
2. 复数的除法：
   • 目标：计算 $\frac{a+bi}{c+di}$，结果需要化为标准的 $R+Si$ 形式（$R, S$ 为实数）。
   • 挑战：主要障碍是分母里含有虚数单位 $i$。我们需要想办法把它消去。
   • 核心技巧：分母实数化。这个技巧利用了我们之前观察到的一个性质：任何复数与它的共轭复数相乘，结果都是一个实数。
   • 共轭复数：复数 $z = c+di$ 的共轭记作 $\bar{z}$，定义为 $\bar{z} = c-di$（虚部变号）。
   • 乘积：$(c+di)(c-di) = c^2 - (di)^2 = c^2 - d^2i^2 = c^2 - d^2(-1) = c^2+d^2$。这是一个实数！
   • 除法步骤：
3. 将分数 $\frac{a+bi}{c+di}$ 的分子和分母同时乘以分母的共轭复数 $(c-di)$。这个操作不改变分数值，因为相当于乘以1。
4. 分子：计算 $(a+bi)(c-di)$。这又是一个标准的复数乘法，展开得到 $(ac+bd) + (bc-ad)i$。
5. 分母：计算 $(c+di)(c-di)$，我们已经知道结果是 $c^2+d^2$。
6. 合并：得到 $\frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}$。
7. 整理：将实部和虚部分开，写成标准形式：$\frac{ac+bd}{c^2+d^2} + i \frac{bc-ad}{c^2+d^2}$。

这部分是本章思想的第一次飞跃。它将我们的视线从整个复平面聚焦到一个特殊的子集——单位圆上，并在这个圆上发现了一个新的代数结构，然后将它与另一个看似无关的结构联系起来。

1. 定义单位圆 $U$：
   • $U$ 是所有模为1的复数的集合。用数学语言描述就是 $U = \{z \in \mathbb{C} \mid |z|=1\}$。
   • 几何上，这正是复平面上以原点为圆心、半径为1的那个圆。
2. $U$ 对乘法是“封闭”的：
   • 这是 $U$ 最重要的代数性质之一。“封闭”意味着，从集合 $U$ 中任取两个元素（比如 $z_1$ 和 $z_2$），用我们定义的运算（这里是复数乘法）对它们进行操作，得到的结果 $z_1z_2$ 仍然在这个集合 $U$ 中。
   • 为什么是封闭的？因为复数相乘，模相乘。如果 $|z_1|=1$ 且 $|z_2|=1$，那么它们的乘积的模 $|z_1z_2| = |z_1||z_2| = 1 \cdot 1 = 1$。所以 $z_1z_2$ 的模也是1，它必然还在单位圆 $U$ 上。
   • 意义：既然运算不会“跑出”这个集合，我们就可以把 $(U, \cdot)$，即“单位圆上的所有点”和“复数乘法”，看作一个独立的、自给自足的代数系统。
3. 建立与实数区间的对应关系：
   • 单位圆 $U$ 上的每一个点 $z$ 都可以由它唯一的辐角 $\theta$ 来确定（如果我们把 $\theta$ 的范围限制在 $[0, 2\pi)$ 内）。例如，点 $z=1$ 对应 $\theta=0$，点 $z=i$ 对应 $\theta=\pi/2$，点 $z=-1$ 对应 $\theta=\pi$，等等。
   • 这样，我们就建立了一个从几何对象（单位圆上的点 $z$）到一个代数对象（区间 $[0, 2\pi)$ 里的数字 $\theta$）的一对一对应关系。
   • 作者将这个区间 $[0, 2\pi)$ 记作 $\mathbb{R}_{2\pi}$。
4. 在 $\mathbb{R}_{2\pi}$ 上定义新运算：模 $2\pi$ 加法：
   • 单位圆上的复数相乘，对应它们的辐角相加。
   • 如果 $z_1$ 对应 $\theta_1$, $z_2$ 对应 $\theta_2$，那么 $z_1z_2$ 对应 $\theta_1+\theta_2$。
   • 问题：如果 $\theta_1+\theta_2$ 的结果超出了 $[0, 2\pi)$ 的范围怎么办？例如，$\theta_1 = 3\pi/2$, $\theta_2 = 5\pi/4$，和是 $11\pi/4$，这个数不在 $\mathbb{R}_{2\pi}$ 里。
   • 解决方法：在圆上，转了 $11\pi/4$ 的角度和转了 $11\pi/4 - 2\pi = 3\pi/4$ 的角度，最终落在同一个位置。$2\pi$ 代表转了整整一圈。所以，我们可以定义一种新的加法，叫做模 $2\pi$ 加法，记作 $+_{2\pi}$。它的规则是：正常相加，如果结果大于或等于 $2\pi$，就减去 $2\pi$ 使其回到 $[0, 2\pi)$ 区间内。
   • 示例1.9：$\frac{3 \pi}{2}+_{2 \pi} \frac{5 \pi}{4}=\frac{11 \pi}{4}-2 \pi=\frac{3 \pi}{4}$。
5. 推广：模 $c$ 加法：
   • 这个“模加法”的概念可以推广到任何正实数 $c$。在区间 $\mathbb{R}_c = [0, c)$ 上可以定义模 $c$ 加法 $+_c$：正常相加，如果结果大于或等于 $c$，就减去 $c$。
   • 示例1.10：在 $\mathbb{R}_{23}$（即整数 $0, 1, \dots, 22$）中，$16+_{23} 19 = 35$。因为 $35 \ge 23$，所以 $35-23=12$。
6. 发现核心联系：
   • 现在我们有两个代数系统：
7. 系统A: (单位圆 $U$, 复数乘法 $\cdot$)
8. 系统B: (区间 $\mathbb{R}_{2\pi}$, 模 $2\pi$ 加法 $+_{2\pi}$)
   • 我们已经建立了两个集合中元素的一一对应关系：$z \leftrightarrow \theta$。
   • 最关键的是，这个对应关系保持了运算的结构！
   • 公式(8)说的就是这个意思：取系统A中的两个元素 $z_1, z_2$ 进行乘法运算，得到 $z_1z_2$。然后把 $z_1, z_2, z_1z_2$ 都“翻译”到系统B中，它们分别对应 $\theta_1, \theta_2, \theta_1+_{2\pi}\theta_2$。你会发现，“先在A系统里运算，再翻译到B系统”，和“先翻译到B系统，再在B系统里运算”，得到的结果是完全一样的。

这部分正式引入并阐释了抽象代数中最核心的概念之一：同构 (Isomorphism)。

1. 同构的非正式定义：
   • 核心思想：两个代数结构，如果我们可以为它们的元素建立一个一一对应的“字典”，并且这个“字典”能够完美地“翻译”两个结构中的运算（即满足关系式(8)那样的结构保持特性），那么我们就说这两个结构是同构的。
   • “换名”的比喻：文章说，我们可以把 $(\mathbb{R}_{2\pi}, +_{2\pi})$ 看作是给 $(U, \cdot)$ 里的每个元素和运算换了个名字。复数 $z$ 被改名为实数 $\theta$，复数乘法 $\cdot$ 被改名为模加法 $+_{2\pi}$。既然只是换了名字，那么它们内在的代数性质（比如解方程的个数、单位元的存在性等）必然是完全一样的。
   • 抽象代数的关注点：抽象代数不关心元素叫什么名字（是复数 $z$ 还是实数 $\theta$），也不关心运算叫什么名字（是“乘法”还是“模加法”），它只关心这个系统所遵循的抽象规则和性质。同构的结构在抽象代数家眼里就是“同一个”结构。
2. 用示例理解“相同的代数性质”：
   • 示例1.11 (单位元)：
   • 在 $(U, \cdot)$ 中，存在一个唯一的“单位元” $e=1$，它和任何元素 $z$ 相乘都等于 $z$ 本身 ($1 \cdot z = z$ )。
   • 在 $(\mathbb{R}_{2\pi}, +_{2\pi})$ 中，与 $1$ 对应的元素是 $0$。这个 $0$ 也扮演着单位元的角色：$0 +_{2\pi} x = x$ 对于任何 $x$ 都成立。
   • 这种“单位元”的存在性和唯一性，就是一个代数性质。两个同构的结构，它们的单位元也通过同构映射相互对应。
   • 示例1.12 (解方程)：
   • 在 $(U, \cdot)$ 中，方程 $z^4=1$ (即 $z \cdot z \cdot z \cdot z = 1$) 有4个解: $1, i, -1, -i$。
   • 将这个方程“翻译”到 $(\mathbb{R}_{2\pi}, +_{2\pi})$ 中，就是 $x +_{2\pi} x +_{2\pi} x +_{2\pi} x = 0$ (因为 $z$ 翻译成 $x$, $\cdot$ 翻译成 $+_{2\pi}$, $1$ 翻译成 $0$）。
   • 这个模加法方程在 $\mathbb{R}_{2\pi}$ 中也恰好有4个解：$0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$。
   • 我们发现，这4个解正好就分别对应着 $U$ 中的4个解：$1 \leftrightarrow 0, i \leftrightarrow \pi/2, -1 \leftrightarrow \pi, -i \leftrightarrow 3\pi/2$。
   • “方程解的个数”以及“解的集合”，都是代数性质，在同构的结构之间是保持不变的。
3. 同构的几何直观：
   • 缠绕：将区间 $\mathbb{R}_{2\pi} = [0, 2\pi)$ 想象成一根线段。把线段的左端点 $0$ 对准单位圆上的点 $1$，然后把整根线段沿着单位圆逆时针“缠绕”上去。因为线段长度 $2\pi$ 正好是单位圆的周长，所以线段的右端点（趋近于 $2\pi$ 的地方）会正好回到起点 $1$。这样，线段上的每一个点就完美地贴在了圆上的一个点，这就是同构映射的几何图像。
   • 弧长加法：$\mathbb{R}_{2\pi}$ 上的模加法，可以看作是在圆上从点 $1$ 开始，沿着圆周丈量弧长。先走一段弧长 $\theta_1$，再走一段弧长 $\theta_2$，如果总长度超过了周长 $2\pi$，就减掉一整圈的长度，看最终停在哪里。这和角度相加是完全一回事。
4. 同构的普适性：
   • 作者进一步指出，这个同构关系不局限于单位圆和 $\mathbb{R}_{2\pi}$。任何一个圆，其上的“弧长加法”结构，都与对应长度的区间上的“模加法”结构同构。例如，半径为2的圆周长为 $4\pi$，其上的弧长加法就和 $(\mathbb{R}_{4\pi}, +_{4\pi})$ 同构。
   • 注意：这里说的是“弧长加法”，而不是复数乘法。对于半径不为1的圆，复数乘法是不封闭的，不能构成一个独立的代数系统。
   • 更进一步，任何两个模加法结构 $(\mathbb{R}_c, +_c)$ 和 $(\mathbb{R}_d, +_d)$ 之间都是同构的。只需要建立一个线性的“拉伸/压缩”映射 $x \leftrightarrow (d/c)x$ 即可。
5. 示例1.13:
   • 在 $\mathbb{R}_{4\pi}$ 中解方程 $x+_{4\pi}x+_{4\pi}x+_{4\pi}x=0$。解是 $0, \pi, 2\pi, 3\pi$。
   • 在 $\mathbb{R}_{2\pi}$ 中对应的方程是 $y+_{2\pi}y+_{2\pi}y+_{2\pi}y=0$，解是 $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$。
   • 同构映射是 $y \leftrightarrow 2y$。可以看到，$\mathbb{R}_{4\pi}$ 中的解正好是 $\mathbb{R}_{2\pi}$ 中对应解的2倍。这再次验证了同构保持了代数性质。

这部分内容将前面讨论的单位圆 $U$ 上的代数结构，进一步聚焦到其上一类非常重要的有限子集上，即 $n$ 次单位根的集合，并揭示了它与整数模加法之间的同构关系。

1. 定义 $n$ 次单位根：
   • $n$ 次单位根是指方程 $z^n=1$ 的所有复数解。
   • 这个解的集合记为 $U_n$。即 $U_n = \{z \in \mathbb{C} \mid z^n=1\}$。
2. $n$ 次单位根的具体形式：
   • 利用上一节解方程的方法，我们知道 $z^n=1$ 的解的模 $|z|^n=1 \implies |z|=1$。所以，所有的单位根都在单位圆 $U$ 上，即 $U_n \subset U$。
   • 辐角满足 $n\theta = 0 + 2m\pi \implies \theta = m \frac{2\pi}{n}$。
   • 取 $m=0, 1, 2, \dots, n-1$，我们就得到了 $n$ 个不同的解。它们是 $z_m = \cos(m \frac{2\pi}{n}) + i\sin(m \frac{2\pi}{n})$。
   • 几何上，这 $n$ 个单位根正好是内接于单位圆的正 $n$ 边形的 $n$ 个顶点。
3. 生成元 $\zeta$：
   • 我们特别关注 $m=1$ 时的那个根，并给它一个特殊的名字 $\zeta$ (zeta)，$\zeta = \cos(\frac{2\pi}{n}) + i\sin(\frac{2\pi}{n}) = e^{i2\pi/n}$。这个根被称为$n$ 次本原单位根。
   • 利用棣莫弗定理，我们可以发现所有的 $n$ 次单位根都可以表示为 $\zeta$ 的幂次：
   • 因此，集合 $U_n$ 可以非常简洁地写成 $U_n = \{\zeta^0, \zeta^1, \zeta^2, \dots, \zeta^{n-1}\}$。其中 $\zeta^0=1$。
4. $U_n$ 对乘法是封闭的：
   • 从 $U_n$ 中任取两个元素，比如 $\zeta^i$ 和 $\zeta^j$。
   • 它们的乘积是 $\zeta^i \cdot \zeta^j = \zeta^{i+j}$。
   • 因为 $\zeta^n=1$，所以如果指数 $i+j$ 大于等于 $n$，我们可以把它化简。例如，$\zeta^{n+k} = \zeta^n \cdot \zeta^k = 1 \cdot \zeta^k = \zeta^k$。这本质上就是指数的模 $n$ 运算。
   • 例如，在 $U_{10}$ 中，$\zeta^6 \cdot \zeta^8 = \zeta^{14} = \zeta^{10} \cdot \zeta^4 = 1 \cdot \zeta^4 = \zeta^4$。由于 $\zeta^4$ 仍然在 $U_{10}$ 集合中，所以 $U_{10}$ 对乘法是封闭的。
   • 因此，$(U_n, \cdot)$ 构成一个独立的、有限的代数系统。
5. 引入整数模n加法：
   • 我们定义一个整数集合 $\mathbb{Z}_n = \{0, 1, 2, \dots, n-1\}$。
   • 在这个集合上，我们可以定义模 $n$ 加法 $+_n$。例如，在 $\mathbb{Z}_8$ 中，$5+_8 6 = 11 \pmod 8 = 3$。
   • 显然，$(\mathbb{Z}_n, +_n)$ 也是一个独立的、有限的代数系统。
6. 发现 $U_n$ 和 $\mathbb{Z}_n$ 的同构：
   • 我们现在有两个代数系统：$(U_n, \cdot)$ 和 $(\mathbb{Z}_n, +_n)$。
   • 我们可以建立一个非常自然的一一对应（“重命名”）：将 $U_n$ 中的元素 $\zeta^k$ 与 $\mathbb{Z}_n$ 中的元素 $k$ 对应起来，即 $\zeta^k \leftrightarrow k$。
   • 这个对应关系保持运算结构吗？是的。
   • 在 $(U_n, \cdot)$ 中运算：$\zeta^i \cdot \zeta^j = \zeta^{i+j \pmod n}$。
   • 在 $(\mathbb{Z}_n, +_n)$ 中运算：$i +_n j = i+j \pmod n$。
   • 可以看到，$\zeta^i \cdot \zeta^j$ 对应的正好是 $i +_n j$。这就是公式(11)表达的同构关系。
7. 同构映射不唯一：
   • 示例1.15提出了一个有趣的问题。通常我们建立的同构是 $\zeta^1 \leftrightarrow 1$。但我们也可以建立其他的同构映射。
   • 例如，在 $U_8$ 和 $\mathbb{Z}_8$ 之间，可以尝试建立 $\zeta^1 \leftrightarrow 5$ 的对应。
   • 如果这个对应是同构，那么它必须保持运算。比如，$\zeta^2 = \zeta^1 \cdot \zeta^1$ 应该对应于 $5 +_8 5 = 10 \pmod 8 = 2$。所以，我们推断出 $\zeta^2 \leftrightarrow 2$。
   • 习题35要求我们沿着这个思路，把其他的对应关系都找出来。这说明同构映射本身可能不止一种。

这部分是本节的课后练习题。这些习题旨在巩固本节所学的核心概念和计算技巧。它们可以分为几个类别：

1. 复数基本运算 (1-11): 这一组练习考察对复数代数形式的加法、乘法以及 $i$ 的幂次运算的熟练程度。习题9要求使用二项式定理，这是一个处理幂次展开的通用技巧。习题10-11考察复数模的计算。
2. 复数极坐标形式 (12-15): 这一组练习要求将复数从代数形式 $(a+bi)$ 转换为极坐标形式 $(|z|(\cos\theta+i\sin\theta))$。这需要计算模和辐角。
3. 复数方程求解 (16-21): 这是本节的核心应用之一。这些习题要求使用极坐标法求解形如 $z^n=w$ 的方程，找到全部 $n$ 个复数根。
4. 模运算 (22-28): 这一组练习考察对模加法 $+_c$ 的理解和计算，包括整数和实数的模加法。习题28考察了模运算的定义域问题。
5. 模运算方程求解 (29-34): 这组练习是在各种模加法系统（如 $\mathbb{Z}_n$ 或 $\mathbb{R}_{2\pi}$）中求解简单的线性方程。
6. 同构概念的应用 (35-37): 这是更抽象的习题，要求学生深入思考同构的性质。习题35和36要求根据给定的一个同构对应关系，推导出其他的对应关系，这需要利用同构保持运算的特性。习题37则是一个证明题，要求解释为什么某种同构不可能存在。
7. 欧拉公式的推论与应用 (38-41): 这一组练习深入探讨了欧拉公式。习题38要求用欧拉公式推导三角学的和角公式，展示了复数方法在解决实数问题上的威力。习题39要求不使用欧拉公式，仅通过三角恒等式来证明复数乘法的几何意义，这是一种更基础的证明路径。习题40是欧拉公式在推导多倍角公式上的应用。习题41则是要求学生回顾微积分知识，通过泰勒级数来给出欧拉公式的一个形式化推导，揭示其深刻来源。